深入理解策略梯度算法

策略梯度（Policy Gradient）算法是强化学习中的一种重要方法，通过优化策略以获得最大回报。本文将详细介绍策略梯度算法的基本原理，推导其数学公式，并提供具体的例子来指导其实现。

策略梯度算法的基本概念

在强化学习中，智能体通过与环境交互来学习一种策略（policy），该策略定义了在每个状态下采取哪种行动的概率分布。策略可以是确定性的或随机的。在策略梯度方法中，策略通常表示为参数化的概率分布，即 $\pi_\theta(a|s)$ ，其中 $\theta$ 是策略的参数， $s$ 是状态， $a$ 是行动。

目标是找到最佳的策略参数 $\theta$ 使得智能体在环境中获得的期望回报最大。为此，我们需要定义一个目标函数 $J(\theta)$ ，表示期望回报。然后，通过梯度上升法（或下降法）来优化该目标函数。

策略梯度的数学推导

假设我们的目标函数 $J(\theta)$ 定义为：

$J(\theta) = \mathbb{E}_{\tau \sim \pi_\theta} [R(\tau)]$

其中 $\tau$ 表示一个完整的轨迹（从初始状态到终止状态的状态-动作序列）， $R(\tau)$ 是该轨迹的总回报。根据策略的定义，我们有：

$\pi_\theta(\tau) = p(s_0) \prod_{t=0}^{T-1} \pi_\theta(a_t|s_t) p(s_{t+1}|s_t, a_t)$

因此，目标函数可以重写为：

$J(\theta) = \sum_{\tau} \pi_\theta(\tau) R(\tau)$

为了最大化 $J(\theta)$ ，我们需要计算其梯度 $\nabla_\theta J(\theta)$ ：

$\nabla_\theta J(\theta) = \nabla_\theta \sum_{\tau} \pi_\theta(\tau) R(\tau) = \sum_{\tau} \nabla_\theta \pi_\theta(\tau) R(\tau)$

使用概率分布的梯度性质，我们有：

$\nabla_\theta \pi_\theta(\tau) = \pi_\theta(\tau) \nabla_\theta \log \pi_\theta(\tau)$

因此，梯度可以表示为：

$\nabla_\theta J(\theta) = \sum_{\tau} \pi_\theta(\tau) \nabla_\theta \log \pi_\theta(\tau) R(\tau) = \mathbb{E}_{\tau \sim \pi_\theta} [\nabla_\theta \log \pi_\theta(\tau) R(\tau)]$

这个公式被称为策略梯度定理。为了估计这个期望值，我们通常使用蒙特卡洛方法，从策略 $\pi_\theta$ 中采样多个轨迹 $\tau$ ，然后计算平均值。

策略梯度算法的实现

我们以一个简单的环境为例，展示如何实现策略梯度算法。假设我们有一个离散动作空间的环境，我们使用一个神经网络来参数化策略 $\pi_\theta(a|s)$ 。

步骤 1：环境设置

首先，设置环境和参数：

import gym
import numpy as np
import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim

env = gym.make('CartPole-v1')
n_actions = env.action_space.n
state_dim = env.observation_space.shape[0]

步骤 2：策略网络定义

定义一个简单的策略网络：

class PolicyNetwork(nn.Module):
    def __init__(self, state_dim, n_actions):
        super(PolicyNetwork, self).__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(state_dim, 128)
        self.fc2 = nn.Linear(128, n_actions)

    def forward(self, x):
        x = torch.relu(self.fc1(x))
        x = self.fc2(x)
        return torch.softmax(x, dim=-1)

policy = PolicyNetwork(state_dim, n_actions)
optimizer = optim.Adam(policy.parameters(), lr=0.01)

步骤 3：采样轨迹

编写函数来从策略中采样轨迹：

def sample_trajectory(env, policy, max_steps=1000):
    state = env.reset()
    states, actions, rewards = [], [], []
    for _ in range(max_steps):
        state = torch.FloatTensor(state).unsqueeze(0)
        probs = policy(state)
        action = np.random.choice(n_actions, p=probs.detach().numpy()[0])
        next_state, reward, done, _ = env.step(action)
        states.append(state)
        actions.append(action)
        rewards.append(reward)
        if done:
            break
        state = next_state
    return states, actions, rewards

步骤 4：计算回报和梯度

计算每个状态的回报，并使用策略梯度定理更新策略：

def compute_returns(rewards, gamma=0.99):
    returns = []
    G = 0
    for r in reversed(rewards):
        G = r + gamma * G
        returns.insert(0, G)
    return returns

def update_policy(policy, optimizer, states, actions, returns):
    returns = torch.FloatTensor(returns)
    loss = 0
    for state, action, G in zip(states, actions, returns):
        state = state.squeeze(0)
        probs = policy(state)
        log_prob = torch.log(probs[action])
        loss += -log_prob * G
    optimizer.zero_grad()
    loss.backward()
    optimizer.step()

步骤 5：训练策略

将上述步骤组合在一起，训练策略网络：

num_episodes = 1000
for episode in range(num_episodes):
    states, actions, rewards = sample_trajectory(env, policy)
    returns = compute_returns(rewards)
    update_policy(policy, optimizer, states, actions, returns)
    if episode % 100 == 0:
        print(f"Episode {episode}, total reward: {sum(rewards)}")